Sucesiones

Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a₁, a₂, a₃ ,..., a_n

Los números a₁, a₂ , a₃ , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es a_n es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión

Por el término general

a_n= 2n-1

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones a_n y b_n:

a_n= a₁, a₂, a₃, ..., a_n

b_n= b₁, b₂, b₃, ..., b_n

Suma con sucesiones:

(a_n) + (b_n) = (a_n + b_n)

(a_n) + (b_n) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃, ..., a_n + b_n)

Propiedades

1 Asociativa:

(a_n + b_n) + c_n = a_n + (b_n + c _n)

2 Conmutativa:

a_n + b_n = b_n + a _n

3 Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ..)

a_n + 0 = a_n

4 Sucesión opuesta

(-a_n) = (-a₁, -a₂, -a₃, ..., -a_n)

a_n + (-a_n) = 0

Progresiones aritméticas PARTE 2

Progresiones aritméticas PARTE 1

EJEMPLOS DE
PROBLEMAS DE SUCESIONES Y PROGRESIONES

http://www.youtube.com/watch?v=ZG3URlFSxC8

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD

En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

1Si se saca una papeleta.

2Si se extraen dos papeletas.

3Si se extraen tres papeletas.

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

1De que ambos vivan 20 años.

2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

3De que ambos mueran antes de los 20 años.

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

EJERCICOS DE REPASO DE PROBABILIDADES

 EJERCICIOS DE REPASO DE PROBABILIDADES

2. Encuentra el espacio muestral del experimento lanzar dos monedas. Si se define el suceso A =“al menos una sea cara”, ¿de cuántos sucesos elementales consta A?

3. Si A y B son dos sucesos del espacio muestral E, éste queda dividido en cuatro partes. Haz un diagrama de Venn que recoja la situación.

Solución

Los que están en A y no en B, a, los que están en B y no en A, b, los que están en ambos, c,  y los que no están ni en A ni en B, d.

                                                         Figura 2

                                                       

En el dibujo se ha indicado el número de sucesos elementales que les corresponden.         

4. Hacer un diagrama de Venn en el caso de que A = “sacar un dos” ;  B = “sacar par”

5. . Si consideramos el suceso A = sacar dos cruces, al lanzar dos monedas, calcula el complementario de A, es decir  A^c .

6. Considera los conjuntos A y B del ejemplo 3. Indica cuántos elementos tiene: el contrario de B, la unión y la intersección de A y B, y el conjunto  A - B.

7 .Se extraen dos cartas de una baraja española. Si A = “ las dos sean copas” y  B = “ una sea copas y la otra rey” , calcula A Ç B

8.Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en extraer una bola. Si consideramos los sucesos A = “obtener número primo” y B = “ obtener múltiplo de 3” escribe los sucesos A, B, AÈB, AÇB, AÈA’, AÇA’

9. Si lanzamos un dado dos veces escribe todos los resultados posibles. ¿Cuántos de estos sucesos componen el suceso A =  “el primero salió un 6”. ¿Y si lanzáramos tres?

10. En una determinada población el 50% ha estado casado alguna vez, el 50% tiene menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casado alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn.

Solución

(Por comodidad en la representación consideramos que la población tiene 100 personas)

Sea C el conjunto de los que han estado casados alguna vez.

 “       B        “                           tienen menos de 70 años.

“        E        “                          no padecen enfermedad contagiosa.

Se verifica :

card ( C  ) = 50% de la población; card (E) = 80%;                 card (B) =50%:

card (E Ç B) = 48%; card (E Ç C) = 32%;           card (C Ç B) = 10%;

                                                                           card (C Ç E Ç B) = 10%

11. Con los datos del problema anterior calcula el porcentaje de individuos que no habiendo estado casados nunca, tengan menos de 70 años y no padecen enfermedad contagiosa.

Indicación : es el cardinal de C’ Ç B Ç E

12. Cada pregunta de un examen tiene dos respuestas alternativas de las que sólo una es correcta. Un alumno contesta al azar un examen de este tipo con tres preguntas.

a) Construya un espacio muestral adecuado a esta experiencia.

b) Calcule p(B),  p(A Ç B),  p(C),  p(B È C), siendo A, B y C los siguientes sucesos:

A = “El alumno contesta correctamente la primera pregunta”

B = “El alumno contesta correctamente dos de las tres preguntas”

C = “El alumno contesta correctamente las tres preguntas”.

B). Espacio probabilístico asociado a un experimento aleatorio.

 Idea intuitiva de probabilidad. Asignación de probabilidades

1. Comenta cada una de las siguientes afirmaciones:

a). No es muy probable que me toque la lotería.

b) Una profesora de inglés aprobó el curso pasado al 80% de sus alumnos. Este año me ha tocado con ella así que lo más probable es que apruebe.

c). Una pareja ha tenido 4 hijos, todos ellos niños. Luego lo más probable es que el próximo sea niña.

d) Me han dicho que sufre un accidente un avión de cada 1000. Me he informado bien, y resulta que el último vuelo que ha salido es el número 999 sin haber sufrido accidente ninguno de ellos, así que no se te ocurra coger el próximo avión.

2. Lanzar un dado 30 veces y calcula las frecuencia relativa del suceso obtener un 6.

3. Si lanzamos un dado ¿cuál es la probabilidad de cada resultado?

Solución

Si el experimento es lanzar un dado, que no esté trucado, se cumple el postulado de indiferencia y  a cada resultado se le asigna como probabilidad a priori el valor 1/6.

4. Consideremos el experimento lanzar dos monedas al aire. Calcular la probabilidad del  suceso sacar una cara y una cruz.

5. Calcula la probabilidad de obtener dos 6 al lanzar dos dados.

6. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea negra?

7.  En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las cartas que nos quedan se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: p(R) = 0,15, p(B) = 0,3, p(carta que no sea ni rey ni basto) = 0,6. ¿Está entre ellas el rey de bastos?. En caso afirmativo calcula su probabilidad.

8.. En una determinada población, el 70% son aficionados al fútbol, el 60% al tenis y el 65% al baloncesto. El 45% lo son al fútbol y al tenis, el 40% al tenis y al baloncesto y el 50% al futbol y al baloncesto, mientras que el 30% lo son a los tres deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar no sea aficionado a ninguno de los tres deportes?

Solución

Pasamos al contrario, es decir calculamos en primer lugar la probabilidad de que sea aficionado al menos a uno de los tres.

p( FÈTÈB) = 0,70 + 0,60 + 0,65 - 0,45 - 0,40 - 0,50 + 0,30 = 0,90

Por lo tanto  p(“no sea aficionado a ningún deporte de los tres”) = 1 - 0,90 = 0,10.

9. . Sean A y B dos sucesos tales que p(A È B) = p(A Ç B).

¿Cuánto valen p(A - B) y p(B -A) ?

Si p(A È B) = 1/2, Cuánto valen p(A) y p(B)?

10 ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados la suma de puntos obtenidos sea 5?.

11. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados la suma de puntos obtenidos sea .?

12.. Sean A y B dos sucesos tales que p(A È B) = p(A Ç B).

¿Cuánto valen p(A - B) y p(B -A) ?

Si p(A È B) = 1/2, Cuánto valen p(A) y p(B)?

13.  Si A y B son sucesos de un cierto experimento aleatorio, ¿puede ser p(A) + p(B) > 1?. Razonar la respuesta.

14. Si A y B son dos sucesos tales que p(A) = 1/5 p(B) = 3/4 y p(AÇB) = 3/20, entonces podemos asegurar:

a) A Ì B, pues p(A)< p(B).

b) A È B es el suceso seguro.

c) p(A È B) = 4/5

15. Lanzamos un dado hasta observar por segunda vez un 6. Hallar la probabilidad de que tal cosa suceda antes del quinto lanzamiento.

Solución

Observar un 6 por segunda vez  (antes del 5º) puede ocurrir al 2º, 3º ó 4º lanzamiento,

P(ocurra en 2º) =1/36;  6 y 6

P(ocurra en 3º) = 2. (5/6).(1/36)= 5/108;   6  6,  6 6   (dos  6 y otro número cualquiera)

P(ocurra en 4º) = 3. (25/36).(1/36) = 25/432; 66  (dos 6 y los otros dos nº cualesquiera 3 formas para esta situación).

P(observar un 6 por segunda vez antes del 5º lanzamiento)= 1/36 + 5/108 + 25/432 = 0,132

16. Lanzamos una moneda hasta observar la segunda cara. ¿Cuál es la probabilidad de observar dos cruces antes de que se observe la segunda cara.

17. Calcular la probabilidad de obtener un as ó una copa al extraer una carta de una baraja española.

18. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna.  ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo color?¿ y la de que sean de distinto color?.

19 De una baraja de 40 cartas extraemos dos cartas a la vez., ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea copas?.

Solución . Sea A el suceso “ al extraer dos cartas al menos una es copas”

 Pasamos al contrario, A^c , es decir calculamos la probabilidad de que ninguna sea copas.

Sucesos posibles: , que son todos los grupos de 2 cartas que se pueden sacar.

Sucesos favorables: pues hay 30 cartas que no son copas.

Por la regla de Laplace[2]

tenemos:  p(A^c ) = = 0,56 Þ p(A) = 1 - 0,56 = 0,44

20 Calcular la probabilidad de al extraer dos cartas de una baraja las dos sean copas.

21 Se lanza una moneda sucesivamente  tres veces. Calcula la probabilidad de que salgan dos caras y una cruz.

22. Se lanza dos al aire un dado . Estudia la probabilidad de los siguientes casos:

a) la segunda vez sale par:

b) una de las veces sale par

C) Experiencias compuestas. Probabilidad condicionada

1.  Supongamos un dado cuyas caras pares son de color negro y las impares de color rojo. Se lanza el dado y la cara obtenida es de color negro. ¿cuál es la probabilidad de que salga un 3? ¿y de que salga un 6?. Razona la respuesta.

2. En una determinada localidad hay tres partidos políticos: PP, PSOE e IU. Se efectúa un referéndum para decidir si un cierto día se declara fiesta local. La siguiente tabla nos da los resultados en % en función del partido al que votó cada ciudadano en las últimas elecciones:

	PP	PSOE	IU	Abs.
Sí	25	20	8	12
No	15	10	2	8

a) ¿Qué probabilidad hay de que una persona tomada al azar haya votado Sí en el referéndum?

b) Calcular la probabilidad de que un individuo sea del PP sabiendo que ha votado sí.

Solución:

En primer lugar completamos la tabla de contingencia con las sumas parciales:

	PP	PSOE	IU	Abs.
Sí	25	20	8	12	65
No	15	10	2	8	35

                          40             30            10            20        100              

a) p( Sí ) = 0,65;     b) p( PP/Sí ) = 25/65 = 0,38.

3. Suponiendo que la riqueza es independiente del sexo, calcular:

a) Las probabilidades que faltan en la tabla

	Rico/a	Pobre	Total
Hombre Mujer	¾ ¾	¾ ¾	0,607 0,393

ENFOQUES CONCEPTUALES PARA DEFINIR LA PROBABILIDAD

Enfoques conceptuales diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de probabilidad:

El enfoque clásico

Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible.

Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra.

Ejemplo:

Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es:

El enfoque de frecuencia relativa

También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un numero de observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposición previa de aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos.

Ejemplo:

Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina no tienen cinturón de seguridad. Si un vigilante de transito se para en esa misma esquina un ida cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un vehículo sin cinturón de seguridad?

Tanto el enfoque clásico como el enfoque empírico conducen a valores objetivos de probabilidad, en el sentido de que los valores de probabilidad indican al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del evento.

El enfoque subjetivo

Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

CONCEPTO DE CORRELACION

En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal y proporcionalidad entre dos variables estadísticas. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existe correlación si al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad

Fuerza, sentido y forma de la correlación

La relación entre dos variables cuantitativas queda representada mediante la línea de mejor ajuste, trazada a partir de la nube de puntos. Los principales componentes elementales de una línea de ajuste y, por lo tanto, de una correlación, son la fuerza, el sentido y la forma:

• La fuerza extrema según el caso, mide el grado en que la línea representa a la nube de puntos: si la nube es estrecha y alargada, se representa por una línea recta, lo que indica que la relación es fuerte; si la nube de puntos tiene una tendencia elíptica o circular, la relación es débil.
• El sentido mide la variación de los valores de B con respecto a A: si al crecer los valores de A lo hacen los de B, la relación es positiva; si al crecer los valores de A disminuyen los de B, la relación es negativa.
• La forma establece el tipo de línea que define el mejor ajuste: la línea recta, la curva monotónica o la curva no monotónica 

 Coeficientes de correlación

Existen diversos coeficientes que miden el grado de correlación, adaptados a la naturaleza de los datos. El más conocido es el coeficiente de correlación de Pearson (introducido en realidad por Francis Galton), que se obtiene dividiendo la covarianza de dos variables entre el producto de sus desviaciones estándar. Otros coeficientes son:

• Coeficiente de correlación de Spearman
• Correlación canónica
• Coeficiente de Correlación Intraclase 

El Estudio de Probabilidades Estadísticas.

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EJEMPLOS DE MUÉSTRALES Y SUCESOS

DEFINICIONES: 

Empezamos con algunas definiciones básicas.

Definición	Ejemplo
Un experimento es un acontecimiento cuyo resultado es incierto.	Tire un par de dados al aire y observe la suma de los números orientados hacia arriba.
Un resultado es una ocurrencia específica que observamos al final del experimento.	Cualquier número desde 2 a 12; por ejemplo, la siguiente figura representa el resultado 7:
El espacio muestral para el experimento es el conjunto de todos los resultados posibles.	El conjunto de números desde 2 a 12: S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

 

Simulación de dados Para lanzar los dados (es decir, hacer el experimento) clic en el botón "Lanzar dados" para mirar el resultado, la suma de los números orientados hacia arriba, a la izquierda.

EJEMPLO 1

P En un experimento en lo que tiramos un par de dados distinguibles (un rojo, un verde) y observamos los números orientados hacia arriba, el espacio muestral es:

	{1, 2, 3, 4, 5, 6}			{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
	(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)			(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,5) (5,6) (6,6)

P En un experimento el lo que tiramos un par de dados indistinguibles y observamos los números orientados hacia arriba, el espacio muestral es:

	{1, 2, 3, 4, 5, 6}			{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
	(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)			(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,5) (5,6) (6,6)

Q Se lanza una moneda tres veces en sucesión, y se observa el número de veces que salen águilas. El espacio muestral es:

	{0, 1, 2, 3}			{aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss }
	{ aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa }

Para muchos más ejemplos de espacios muestral.

Suceso Sea S un espacio muestral, entonces un suceso E es un subconjunto de S. Se refieren a los resultados en E como los resultados favorables. Decimos que ocurre E en un experimento particular si el resultado de tal experimento es uno de los elementos de E, es decir, si el resultado del experimento es favorable. Determinar el conjunto E Simplemente diga la siguiente a su mismo cuando está buscando el suceso E: El suceso E consta de todos los resultados en S que son favorables. Ejemplo Imogena disfruta de santarse en frente de la televión y elegir al azar dos chocolates a la vez de su caja de chocolates. La caja contiene un gran número de veteados de jarabe, delicias turcas, y sorpresas mocha. Describa un posible espacio muestral, y también el suceso de que Imogena escoja al menos una sorpresa mocha en su primera elija. Solución Aquí, los elementos del espacio muestral S pueden ser tomados como combinaciones de dos tipos de chocolates o pares del mismos tipo. Por lo tanto, un posible espacio muestral es el conjunto de todas las posibles combinaciones: S = {VT, VM, TM, VV, TT, MM}, where V = veteado de jarabe, T = delicia turca, y M = sorpresa mocha. Bueno, por el suceso Eescribimos la siguiente: El sucesp E consta de todos los resultados en S que son favorables. Pues los resultados favorables son aquellos con al menos una sorpresa mocha, podemos decir la siguiente: El suceso E consta de todos los resultados en S que contienen al menos una sorpresa de mocha. Por lo tanto, E = {VM, TM, MM}. (Simplemente elimine todos los resultados que no contienen M.)

EJEMPLO 2

Un trabajador en los estados unidos durante 2009 podía ser cubierto o no cubierto por un plan de salud. Si era cubierto el trabajador, podía ser bajo el plan de su empleador o de un otro plan. En el caso de un otro plan, podía ser en su propio nombre o en el nombre de su esposo. Consideramos el experimento "Elija un trabajador en los estados unidos al azar y determine si o no está cubierto y también el tipo de cobertura."

P Un espacio muestral apropiado es:

	S = {No cubierto, Cubierto}
	S = { No cubierto, Cubierto por plan de empleador, Cubierto por plan en su propio nombre, Cubierto por plan en el nombre de esposa }
	S = { No cubierto, Cubierto por plan de empleador, Cubierto por plan en su propio nombre, Cubierto por plan en el nombre de esposa, cubierto por algún otro tipo de plan }

P El suceso de que no está cubierto por el plan de empleador es:

	E = { No cubierto, Cubierto por plan en su propio nombre, Cubierto por plan en el nombre de esposa }
	E = 3/4
	E = 3
	{ Cubierto por plan en su propio nombre, Cubierto por plan en el nombre de esposa }

P Se lanza una moneda tres veces y se observa la secuencia de águilas y soles que salen. El suceso de que salen águilas al menos dos veces es:

	{2, 3}			Dos de cada cuatro
	{aaa, aas, asa, saa}			{aas, aaa}

Operaciones con sucesos

Porque sucesos son conjuntos, entonces podemos preguntarnos qué efectos tienen las operaciones de conjuntos como unión, intersección, y complemento.

Operaciones de conjuntos	Ejemplo
El complemento, E', de un suceso E es el suceso de que E no ocurre. Es el conjunto de todos los resultados no en E.	Tire un par de dados al aire y observe la suma de los números orientados hacia arriba. Si E es el suceso de que la suma es par, entonces E' es el suceso de que la suma es impar: S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} E = {2, 4, 6, 8, 10, 12} E' = {3, 5, 7, 9, 11}
La unión, EF, de los sucesos E y F es el suceso de que ocurre o E o F (o los dos).	Lance tres monedas y observe la secuencia de águilas y soles. Si E es el suceso de que salen águilas solo una vez, y F es el suceso de que soles salen solo una vez, entonces EF es el suceso de que salen águilas solo una vez o salen soles solo una vez: S = { aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss } E = {ass, asa, ssa}, F = { aas, asa, saa} EF = { aas, asa, ass, saa, sas, ssa }
La interrsección, EF, de sucesos E y F es el suceso de que ambos E y F ocurren.	Escoja un número de tres dígitos (000-999) al azar. Si E es el suceso de que el primer dígito es 9, y F es el suceso de que los demás digitos suman a 2, entonces EF es el suceso de que el primer dígito es 9 y los demás suman a 2: S = el conjunto de todos los números de 3 dígitos ¡(1000 de ellos)! E = el conjunto de todos los números 900 al 999 F = el conjunto de todos los números de la forma *02, *11, or *20 EF = {902, 911, 920} ¡Clic aquí para ver el espacio muestral entero y los sucesos en todo detalle sangriente!
Si E y F son sucesos, entonces decimos que E y F son disjuntos o mutuamente excluyentes si EF es vacio.	In es experimento más arriba, sea E el suceso de que el primer dígito es 9, y F el suceso de que el primer dígito es 8. Entonces E y F son mutuamente excluyentes.

 

EJEMPLO 3

P En el experimento en lo que se tira un par de dados (un rojo, un verde) al aire y se observa el número orientado hacia arriba de cada uno, sea E el suceso de que la suma de los números es 4, y F el suceso de que la suma es impar. El suceso F' is:

	el suceso de que el resultado es un número par			{(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
	{2, 4, 6, 8, 10}			el suceso de que el resultado es un número par distinto a 4

P With E and F como descrito más arriba, EF' es el suceso

	{(1, 1), (1, 5), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}			{(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
	igual a F'			el conjunto vacio

P Con E and F como descrito más arriba, E'F es el suceso de que

	la suma de los números es un número impar distinto a 4			la suma de los números es cualquier número
	la suma de los números es un número par distinto a 4			la suma de los números es cualquier número distinto a 4