EJERCICOS DE REPASO DE PROBABILIDADES

 EJERCICIOS DE REPASO DE PROBABILIDADES

2. Encuentra el espacio muestral del experimento lanzar dos monedas. Si se define el suceso A =“al menos una sea cara”, ¿de cuántos sucesos elementales consta A?

3. Si A y B son dos sucesos del espacio muestral E, éste queda dividido en cuatro partes. Haz un diagrama de Venn que recoja la situación.

Solución

Los que están en A y no en B, a, los que están en B y no en A, b, los que están en ambos, c,  y los que no están ni en A ni en B, d.

                                                         Figura 2

                                                       

En el dibujo se ha indicado el número de sucesos elementales que les corresponden.         

4. Hacer un diagrama de Venn en el caso de que A = “sacar un dos” ;  B = “sacar par”

5. . Si consideramos el suceso A = sacar dos cruces, al lanzar dos monedas, calcula el complementario de A, es decir  A^c .

6. Considera los conjuntos A y B del ejemplo 3. Indica cuántos elementos tiene: el contrario de B, la unión y la intersección de A y B, y el conjunto  A - B.

7 .Se extraen dos cartas de una baraja española. Si A = “ las dos sean copas” y  B = “ una sea copas y la otra rey” , calcula A Ç B

8.Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en extraer una bola. Si consideramos los sucesos A = “obtener número primo” y B = “ obtener múltiplo de 3” escribe los sucesos A, B, AÈB, AÇB, AÈA’, AÇA’

9. Si lanzamos un dado dos veces escribe todos los resultados posibles. ¿Cuántos de estos sucesos componen el suceso A =  “el primero salió un 6”. ¿Y si lanzáramos tres?

10. En una determinada población el 50% ha estado casado alguna vez, el 50% tiene menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casado alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn.

Solución

(Por comodidad en la representación consideramos que la población tiene 100 personas)

Sea C el conjunto de los que han estado casados alguna vez.

 “       B        “                           tienen menos de 70 años.

“        E        “                          no padecen enfermedad contagiosa.

Se verifica :

card ( C  ) = 50% de la población; card (E) = 80%;                 card (B) =50%:

card (E Ç B) = 48%; card (E Ç C) = 32%;           card (C Ç B) = 10%;

                                                                           card (C Ç E Ç B) = 10%

11. Con los datos del problema anterior calcula el porcentaje de individuos que no habiendo estado casados nunca, tengan menos de 70 años y no padecen enfermedad contagiosa.

Indicación : es el cardinal de C’ Ç B Ç E

12. Cada pregunta de un examen tiene dos respuestas alternativas de las que sólo una es correcta. Un alumno contesta al azar un examen de este tipo con tres preguntas.

a) Construya un espacio muestral adecuado a esta experiencia.

b) Calcule p(B),  p(A Ç B),  p(C),  p(B È C), siendo A, B y C los siguientes sucesos:

A = “El alumno contesta correctamente la primera pregunta”

B = “El alumno contesta correctamente dos de las tres preguntas”

C = “El alumno contesta correctamente las tres preguntas”.

B). Espacio probabilístico asociado a un experimento aleatorio.

 Idea intuitiva de probabilidad. Asignación de probabilidades

1. Comenta cada una de las siguientes afirmaciones:

a). No es muy probable que me toque la lotería.

b) Una profesora de inglés aprobó el curso pasado al 80% de sus alumnos. Este año me ha tocado con ella así que lo más probable es que apruebe.

c). Una pareja ha tenido 4 hijos, todos ellos niños. Luego lo más probable es que el próximo sea niña.

d) Me han dicho que sufre un accidente un avión de cada 1000. Me he informado bien, y resulta que el último vuelo que ha salido es el número 999 sin haber sufrido accidente ninguno de ellos, así que no se te ocurra coger el próximo avión.

2. Lanzar un dado 30 veces y calcula las frecuencia relativa del suceso obtener un 6.

3. Si lanzamos un dado ¿cuál es la probabilidad de cada resultado?

Solución

Si el experimento es lanzar un dado, que no esté trucado, se cumple el postulado de indiferencia y  a cada resultado se le asigna como probabilidad a priori el valor 1/6.

4. Consideremos el experimento lanzar dos monedas al aire. Calcular la probabilidad del  suceso sacar una cara y una cruz.

5. Calcula la probabilidad de obtener dos 6 al lanzar dos dados.

6. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea negra?

7.  En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las cartas que nos quedan se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: p(R) = 0,15, p(B) = 0,3, p(carta que no sea ni rey ni basto) = 0,6. ¿Está entre ellas el rey de bastos?. En caso afirmativo calcula su probabilidad.

8.. En una determinada población, el 70% son aficionados al fútbol, el 60% al tenis y el 65% al baloncesto. El 45% lo son al fútbol y al tenis, el 40% al tenis y al baloncesto y el 50% al futbol y al baloncesto, mientras que el 30% lo son a los tres deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar no sea aficionado a ninguno de los tres deportes?

Solución

Pasamos al contrario, es decir calculamos en primer lugar la probabilidad de que sea aficionado al menos a uno de los tres.

p( FÈTÈB) = 0,70 + 0,60 + 0,65 - 0,45 - 0,40 - 0,50 + 0,30 = 0,90

Por lo tanto  p(“no sea aficionado a ningún deporte de los tres”) = 1 - 0,90 = 0,10.

9. . Sean A y B dos sucesos tales que p(A È B) = p(A Ç B).

¿Cuánto valen p(A - B) y p(B -A) ?

Si p(A È B) = 1/2, Cuánto valen p(A) y p(B)?

10 ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados la suma de puntos obtenidos sea 5?.

11. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados la suma de puntos obtenidos sea .?

12.. Sean A y B dos sucesos tales que p(A È B) = p(A Ç B).

¿Cuánto valen p(A - B) y p(B -A) ?

Si p(A È B) = 1/2, Cuánto valen p(A) y p(B)?

13.  Si A y B son sucesos de un cierto experimento aleatorio, ¿puede ser p(A) + p(B) > 1?. Razonar la respuesta.

14. Si A y B son dos sucesos tales que p(A) = 1/5 p(B) = 3/4 y p(AÇB) = 3/20, entonces podemos asegurar:

a) A Ì B, pues p(A)< p(B).

b) A È B es el suceso seguro.

c) p(A È B) = 4/5

15. Lanzamos un dado hasta observar por segunda vez un 6. Hallar la probabilidad de que tal cosa suceda antes del quinto lanzamiento.

Solución

Observar un 6 por segunda vez  (antes del 5º) puede ocurrir al 2º, 3º ó 4º lanzamiento,

P(ocurra en 2º) =1/36;  6 y 6

P(ocurra en 3º) = 2. (5/6).(1/36)= 5/108;   6  6,  6 6   (dos  6 y otro número cualquiera)

P(ocurra en 4º) = 3. (25/36).(1/36) = 25/432; 66  (dos 6 y los otros dos nº cualesquiera 3 formas para esta situación).

P(observar un 6 por segunda vez antes del 5º lanzamiento)= 1/36 + 5/108 + 25/432 = 0,132

16. Lanzamos una moneda hasta observar la segunda cara. ¿Cuál es la probabilidad de observar dos cruces antes de que se observe la segunda cara.

17. Calcular la probabilidad de obtener un as ó una copa al extraer una carta de una baraja española.

18. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna.  ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo color?¿ y la de que sean de distinto color?.

19 De una baraja de 40 cartas extraemos dos cartas a la vez., ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea copas?.

Solución . Sea A el suceso “ al extraer dos cartas al menos una es copas”

 Pasamos al contrario, A^c , es decir calculamos la probabilidad de que ninguna sea copas.

Sucesos posibles: , que son todos los grupos de 2 cartas que se pueden sacar.

Sucesos favorables: pues hay 30 cartas que no son copas.

Por la regla de Laplace[2]

tenemos:  p(A^c ) = = 0,56 Þ p(A) = 1 - 0,56 = 0,44

20 Calcular la probabilidad de al extraer dos cartas de una baraja las dos sean copas.

21 Se lanza una moneda sucesivamente  tres veces. Calcula la probabilidad de que salgan dos caras y una cruz.

22. Se lanza dos al aire un dado . Estudia la probabilidad de los siguientes casos:

a) la segunda vez sale par:

b) una de las veces sale par

C) Experiencias compuestas. Probabilidad condicionada

1.  Supongamos un dado cuyas caras pares son de color negro y las impares de color rojo. Se lanza el dado y la cara obtenida es de color negro. ¿cuál es la probabilidad de que salga un 3? ¿y de que salga un 6?. Razona la respuesta.

2. En una determinada localidad hay tres partidos políticos: PP, PSOE e IU. Se efectúa un referéndum para decidir si un cierto día se declara fiesta local. La siguiente tabla nos da los resultados en % en función del partido al que votó cada ciudadano en las últimas elecciones:

	PP	PSOE	IU	Abs.
Sí	25	20	8	12
No	15	10	2	8

a) ¿Qué probabilidad hay de que una persona tomada al azar haya votado Sí en el referéndum?

b) Calcular la probabilidad de que un individuo sea del PP sabiendo que ha votado sí.

Solución:

En primer lugar completamos la tabla de contingencia con las sumas parciales:

	PP	PSOE	IU	Abs.
Sí	25	20	8	12	65
No	15	10	2	8	35

                          40             30            10            20        100              

a) p( Sí ) = 0,65;     b) p( PP/Sí ) = 25/65 = 0,38.

3. Suponiendo que la riqueza es independiente del sexo, calcular:

a) Las probabilidades que faltan en la tabla

	Rico/a	Pobre	Total
Hombre Mujer	¾ ¾	¾ ¾	0,607 0,393